Условие
Длины 10 удавов независимы N(μ,σ²). Известно ΣYᵢ=20 и ΣYᵢ²=1000. Постройте 95%-е интервалы для μ и σ² и обсудите роль нормальности.
Выборочные характеристики
ȳ=2. Центрированная сумма квадратов равна 1000−10·2²=960, поэтому несмещённая выборочная дисперсия s²=960/9≈106,666667.
Интервал для μ
При неизвестной σ используется t9: ȳ±t0,975;9·s/√10. С t≈2,262157 получаем [−5,388174;9,388174].
Интервал для σ²
В нормальной модели (n−1)s²/σ²∼χ²9. Поэтому
[960/χ²0,975;9; 960/χ²0,025;9]≈[50,465842;355,504271].
Роль нормальности
И t-интервал малого n, и стандартный χ²-интервал дисперсии используют точную нормальную теорию. Без нормальности именно эти конечновыборочные законы теряются.
При больших n среднее можно оценивать через ЦПТ при конечной дисперсии. Для дисперсии тоже возможно построить другой асимптотический интервал через ЦПТ для квадратов при наличии конечного четвёртого момента; стандартный χ²-интервал при произвольной ненормальности точным не становится. Это уточняет неоднозначную формулировку комментария источника.
statistics_pro 9.8 · CC0 1.0 · замечание источника о нормальности сохранено; численные интервалы дополнены.