Условие
Независимые одинаково распределённые Xᵢ имеют N(a,2a). Постройте оценки a методами максимального правдоподобия и моментов, оцените их дисперсии. Поскольку 2a — дисперсия, используем a>0.
В источнике для правдоподобия указано ΣXᵢ²/(2n). Ниже показано, почему эта формула не соответствует заданной модели, и приведено явное исправление.
Правдоподобие
Положим M₂=(1/n)ΣXᵢ². Зависящая от a часть логарифма правдоподобия равна −(n/2)lna−Σ(Xᵢ−a)²/(4a).
После раскрытия квадрата производная равна −n/(2a)+nM₂/(4a²)−n/4. Уравнение максимума: a²+2a−M₂=0. Положительный корень даёт:
âML=√(1+M₂)−1.
Почти наверное M₂>0, а логарифм правдоподобия убывает к −∞ на обоих краях a→0+ и a→∞; найденный корень является максимумом.
Почему исходная формула неверна
В этой модели E(X²)=a²+2a, а не 2a. Поэтому M₂/2 даже по закону больших чисел стремится к a+a²/2, а не к a. Пропуск среднего в нормальной модели меняет оценку принципиально, не только на малую поправку.
Дисперсия оценки правдоподобия
Информация Фишера на наблюдение равна I(a)=1/(2a)+1/(2a²)=(a+1)/(2a²). Поэтому асимптотическая дисперсия равна 2a²/[n(a+1)]; её оценивают подстановкой âML.
Метод первого момента
Из E(X)=a получаем формальную оценку âMM=X̄, с точной дисперсией 2a/n. Если наблюдаемое X̄ положительно, подстановочная оценка дисперсии равна 2X̄/n.
При конечной выборке X̄ может оказаться неположительным и выйти из допустимой области a>0. Это недостаток формальной оценки первого момента. Метод второго момента, напротив, решает M₂=a²+2a и здесь совпадает с исправленной оценкой правдоподобия. Таким образом, выражение «метод моментов» требует указать, какой момент используется.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 5.6 · CC0 1.0. Условие сохранено; ошибочная оценка исправлена явно.