Байесовский Normal–Normal: posterior для среднего при известной дисперсии

Prior μ~N(0,4), пять наблюдений с известной σ²=1 и Xbar=2 дают posterior mean 40/21≈1,9048 и variance 4/21.

Задача

Xᵢ|μ iid N(μ,1), n=5, X̄=2. Prior μ∼N(0,4). Найдите posterior.

Точности

Prior precision=1/4. Likelihood precision для μ равна n/σ²=5.

Posterior precision=21/4, поэтому variance=4/21≈0,190476.

Posterior mean

Взвешиваем prior mean 0 и выборочное среднее 2 по точностям:

m_post=[(1/4)·0+5·2]/(21/4)=40/21≈1,904762.

Ответ

μ|data∼N(40/21,4/21).

Shrinkage

Posterior mean немного сдвинут от 2 в сторону prior mean 0. При росте n вес данных увеличивается, а posterior variance уменьшается.

Редакционная практика по Bayesian statistics из statistics_pro · CC0 1.0.