Модель
Наблюдаются независимые бинарные Xᵢ∼Bernoulli(p). Априорно p∼Beta(a,b). В выборке k единиц и n−k нулей. Найдите posterior и прогноз следующего исхода.
Правдоподобие
С точностью до константы L(p)∝p^k(1−p)^{n−k}.
Апостериорное распределение
Умножение на Beta-плотность p^{a−1}(1−p)^{b−1} даёт
p|data ∼ Beta(a+k, b+n−k).
Точечные характеристики
Апостериорное среднее:
E(p|data)=(a+k)/(a+b+n).
При a+k>1 и b+n−k>1 мода:
(a+k−1)/(a+b+n−2).
Предиктивная вероятность
P(X_{n+1}=1|data)=E[p|data], то есть (a+k)/(a+b+n). Поэтому posterior mean имеет непосредственную интерпретацию как вероятность следующего успеха.
При равномерном prior Beta(1,1) получаем правило (k+1)/(n+2). Это не то же самое, что ММП k/n, хотя при большом n различие исчезает.
HSE KNAD Statistics 2024–2025 · ha-03 · закреплённый источник · CC0 1.0. Редакционное решение темы задания.