Задача
Исходная выборка X₁,…,Xₙ состоит из нулей и единиц. Постройте bootstrap-распределение выборочного среднего.
Эмпирическое распределение
Пусть p̂=X̄. При обычном nonparametric bootstrap каждое Xᵢ* независимо выбирается с возвращением из наблюдённых значений. Условно на исходной выборке
Xᵢ*∼Bernoulli(p̂).
Точное условное распределение
nX̄*|data ∼ Bin(n,p̂).
Поэтому
E*(X̄*)=p̂,
Var*(X̄*)=p̂(1−p̂)/n.
Bootstrap standard error
Теоретическая conditional bootstrap SE здесь известна напрямую:
se*=√[p̂(1−p̂)/n].
Monte Carlo bootstrap с B повторениями лишь численно приближает это распределение; увеличение B уменьшает симуляционный шум, но не меняет саму исходную выборку.
Граница
Если исходная выборка содержит только нули или только единицы, bootstrap-распределение вырождено и даёт SE=0. Это отражает ограничение empirical bootstrap у границы и не доказывает отсутствие неопределённости в генеральной вероятности.
HSE KNAD Statistics 2024–2025 · ha-06 · закреплённая редакция · CC0 1.0. Решение редакции.