Модель
Xᵢ=θ+Eᵢ, Eᵢ iid Exp(λ), λ известна или оценивается отдельно. Параметр θ — левая граница поддержки; ММП θ̂=X_(1).
Точный масштаб ошибки
Минимум экспоненциальных превышений имеет Exp(nλ), поэтому
n(θ̂−θ)∼Exp(λ).
Ошибка оценки имеет масштаб 1/n, а не стандартный 1/√n.
Что делает обычный bootstrap
Bootstrap-выборка выбирает n элементов из исходной эмпирической выборки. Её минимум не может стать меньше исходного X_(1). Более того, исходный минимум попадёт хотя бы один раз с вероятностью
1−(1−1/n)^n → 1−e^{-1}≈0,632.
Следовательно, conditional bootstrap-распределение θ̂*−θ̂ имеет большой атом в нуле.
Почему это проблема
Истинное предельное распределение n(θ̂−θ) непрерывно экспоненциально и не имеет такого атома. Поэтому обычный n-out-of-n nonparametric bootstrap несостоятелен для этого нерегулярного boundary-параметра.
Что можно делать вместо
Используют прямое точное распределение, параметрический bootstrap из подогнанной модели или специальные m-out-of-n/subsampling методы. Конкретный выбор зависит от того, какие параметры известны.
HSE KNAD Statistics 2024–2025 · ha-06 · закреплённая редакция · CC0 1.0. Редакционное решение темы задания.