Условие
В десяти независимых одинаковых испытаниях наблюдались шесть успехов. Найдите оценку максимального правдоподобия неизвестной вероятности p.
Решение по шагам
С точностью до не зависящего от p множителя правдоподобие равно p⁶(1−p)⁴. Логарифм ℓ(p)=6ln p+4ln(1−p). Производная 6/p−4/(1−p) обнуляется при 6(1−p)=4p, то есть p̂=0,6.
Вторая производная −6/p²−4/(1−p)² отрицательна на (0,1), поэтому найденная точка — единственный максимум. На границах правдоподобие нулевое, поскольку наблюдались и успехи, и неудачи.
Проверка результата
Подстановка 3/5 обнуляет первую производную. Знак второй производной проверяет максимум, а не только стационарность.
Типичная ошибка
Комбинаторный коэффициент C(10,6) влияет на численное правдоподобие числа успехов, но не на положение максимума по p.
Что даёт этот метод
Для k успехов из n оценка p̂=k/n. Если k=0 или k=n, максимум находится на границе, и решение внутреннего уравнения нужно заменить проверкой границ.
Дальше по теме
Математическая статистика: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.