Условие
В двадцати независимых испытаниях с общей вероятностью успеха наблюдались восемь успехов. Постройте интервал Уилсона с z=1,96.
Решение по шагам
Выборочная доля p̂=8/20=0,4. В знаменателе d=1+z²/n=1,19208. Центр c=(p̂+z²/(2n))/d≈0.416113. Радиус r=z√[p̂(1−p̂)/n+z²/(4n²)]/d≈0.197309.
Интервал [c−r,c+r] равен примерно [0.218804;0.613422]. Он получается обращением нормального score-критерия и не обязан быть симметричен относительно выборочной доли. Номинальные 95% не означают точное покрытие для каждого p и n.
Проверка результата
Границы также являются корнями неравенства n(p̂−p)²≤z²p(1−p). Независимое решение этого квадратного неравенства совпадает с формулой.
Типичная ошибка
Нельзя подставить p̂ вместо p в дисперсию score-неравенства и называть получившийся симметричный интервал интервалом Уилсона.
Что даёт этот метод
При малом n и долях близко к 0 или 1 выбор интервала особенно важен. Интервал Уилсона обычно остаётся в [0,1]; его покрытие следует отличать от точных биномиальных процедур.
Дальше по теме
Математическая статистика: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.