Исходная модель
Yᵢ iid Bernoulli(p), p̂=Ȳ. Сравните интервалы Вальда, Вильсона и Агрести — Коулла и интерпретируйте центр Вильсона через псевдонаблюдения.
Интервал Вальда
p̂±z·√[p̂(1−p̂)/n], где для 95% z≈1,959964. Формула проста, но особенно у границ 0 и 1 её фактическое покрытие может заметно отличаться от номинального.
Интервал Вильсона
Положим u=n/(n+z²), n_w=n+z². Центр:
p̂_w=u p̂+(1−u)/2=(ΣYᵢ+z²/2)/(n+z²).
Одна из форм полуширины источника:
z·√{[u p̂(1−p̂)+(1−u)/4]/n_w}.
Центр можно понимать как добавление f=z²/2 фиктивных единиц и столько же нулей. Для 95% f≈1,9207, то есть близко к двум.
Агрести — Коулл
Правило +4 добавляет две единицы и два нуля: p̂_AC=(ΣY+2)/(n+4), затем строится обычный Wald-интервал на расширенной выборке.
Центры AC и Wilson при z=1,96 не равны точно, потому что z²≈3,84146, а не 4; они очень близки. Ключ источника именно это формулирует как практическое совпадение. Он также отмечает, что AC обычно немного шире соответствующей Wilson-конструкции.
Проверка симуляцией
Для n=50 и p от 0 до 1 источник предлагает сравнить эмпирическое покрытие. Ожидаемый вывод: Wilson и Agresti–Coull обычно ведут себя устойчивее Wald около границ. Это симуляционный вывод, а не гарантия лучшего покрытия при каждом p и n.
statistics_pro 9.13 · CC0 1.0 · формулы ключа сохранены; точность сравнения центров уточнена.