Научная визуализация
Две Бернулли: какие функции p допускают несмещённую оценку
Две Бернулли: какие функции p допускают несмещённую оценку. Четыре исхода двух величин Бернулли задают пространство функций, натянутое на 1,p,p².
E[T(X₁,X₂)] ∈ span{1,p,p²}
Условие
X₁,X₂ независимы Bernoulli(p). Постройте две разные несмещённые оценки p, две для p², решите вопрос для √p и охарактеризуйте все функции параметра, которые можно несмещённо оценить по этой паре.
Ключ источника
Для p подходят X₁ и X₂. Для p² — X₁X₂ и X₂−X₁+X₁X₂. Для √p оценки нет. Доступный класс — линейная оболочка 1,p,p².
Доказательство класса
Любая T(X₁,X₂) задаётся четырьмя значениями. Её ожидание равно t00(1−p)²+(t01+t10)p(1−p)+t11p², то есть полином степени не выше 2. И наоборот, подходящим выбором значений можно получить любой такой полином.
√p не является квадратным полиномом на всём [0,1], поэтому несмещённая оценка невозможна.
statistics_pro 7.19 · CC0 1.0 · ответы сохранены; доказательство добавлено.