Две оценки коэффициента без константы: среднее отношений против МНК

Научная визуализация Две оценки коэффициента без константы: среднее отношений против МНК

Две оценки коэффициента без константы: среднее отношений против МНК. Неравенство Коши сравнивает две дисперсии.

Var(β̂₁)=1/(n x̄²); Var(β̂₂)=1/Σxᵢ²

Неравенство Коши сравнивает две дисперсии.

Условие

Yᵢ=βxᵢ+εᵢ, где 20<xᵢ<100, Eεᵢ=0, Varεᵢ=1, ошибки независимы. Сравните β̂₁=Ȳ/x̄ и β̂₂=ΣxᵢYᵢ/Σxᵢ².

Обе оценки несмещённые и состоятельные; β̂₂ эффективнее.

Var(β̂₁)=1/(n x̄²); Var(β̂₂)=1/Σxᵢ². По Коши Σxᵢ²≥n x̄², поэтому вторая дисперсия не больше первой, с равенством лишь при одинаковых x.

x̄>20 и Σxᵢ²>400n, поэтому обе дисперсии стремятся к нулю как O(1/n). Вместе с несмещённостью это даёт сходимость к β.

Вывод об эффективности относится к одинаковой дисперсии ошибок; при гетероскедастичности оптимальные веса меняются.

statistics_pro 7.15 · CC0 1.0 · ключ сохранён; доказательство добавлено.