Дельта-метод заменяет гладкую функцию случайного среднего её линейным приближением около истинного среднего. Он описывает распределение отклонений, а не автоматически точные моменты преобразованной величины.
√n(g(Tₙ)−g(θ))≈g′(θ)√n(Tₙ−θ)
Условие
X₁,…,Xₙ независимы и одинаково распределены, E(Xᵢ) = 10, Var(Xᵢ) = 20. При большом n найдите приближённые распределения X̄ₙ² и (1 + X̄ₙ)/(X̄ₙ² + 5). В источнике решение отсутствует; далее — редакционный вывод.
Центральная предельная теорема
При данных предпосылках √n(X̄ₙ − 10) → N(0, 20) по распределению. Для функции g, дифференцируемой в 10 с ненулевой производной, дельта-метод даёт:
√n[g(X̄ₙ) − g(10)] → N(0, 20[g′(10)]²).
Значит, g(X̄ₙ) приближённо нормально распределена с центром g(10) и параметром дисперсии нормального приближения 20[g′(10)]²/n.
Квадрат среднего
Для g(x) = x² имеем g(10) = 100 и g′(10) = 20. Поэтому:
X̄ₙ² ≈ N(100, 8000/n).
Точная величина неотрицательна, тогда как нормальное приближение формально допускает отрицательные значения. При больших n его масса сосредоточена около 100, и это различие не мешает локальному асимптотическому описанию.
Рациональная функция
Пусть h(x) = (1 + x)/(x² + 5). Тогда:
h′(x) = (5 − 2x − x²)/(x² + 5)²;
h(10) = 11/105; h′(10) = −23/2205.
Следовательно:
(1 + X̄ₙ)/(X̄ₙ² + 5) ≈ N(11/105, 2116/(972405n)).
Отрицательный знак производной меняет направление колебаний, но исчезает при возведении в квадрат для параметра дисперсии.
Приближённое распределение не равно точным моментам
Для квадрата среднего точное ожидание можно найти из заданных первых двух моментов: E(X̄ₙ²) = 100 + 20/n. Дельта-метод первого порядка использует центр 100; различие порядка 1/n меньше основного масштаба колебаний 1/√n.
Но точная Var(X̄ₙ²) из одного условия о дисперсии X не определяется: для её конечности обычно требуется контроль четвёртого момента. Поэтому число 8000/n — параметр асимптотического нормального приближения, а не заявление о точной дисперсии при всех допустимых исходных распределениях.
Нормальная аппроксимация: другой пример · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 22.1 · CC BY 4.0. Условие адаптировано; решение и оговорки редакции.