Когда требуется вероятность ровно одного значения биномиального счётчика, применяется локальное приближение. Нормальная функция распределения в одной точке отвечает на другой вопрос — о вероятности не превысить эту точку.
Условие
Садовник посадил 500 деревьев. Каждое приживается независимо с вероятностью 0,5. Нужно найти вероятность того, что приживутся ровно 260 деревьев, сначала точно, затем по локальной теореме Муавра — Лапласа, и вычислить ошибку приближения.
В исходном сборнике дано условие без заполненного решения. Ниже — редакционный расчёт.
Точная биномиальная вероятность
Пусть X — число прижившихся деревьев. Тогда X имеет распределение Bin(500; 0,5), а событие из условия — X = 260:
P(X = 260) = C(500; 260) · 0,5260 · 0,5240 = C(500; 260)/2500.
Численно получаем 0,02392329606, то есть примерно 2,39233%.
Число сочетаний учитывает, какие именно 260 деревьев прижились. Запись только одного произведения вероятностей описывала бы один заранее выбранный набор, а не все подходящие исходы.
Стандартизация
Параметры распределения равны:
E(X) = np = 250; Var(X) = np(1 − p) = 125; σ = √125.
Стандартизованное отклонение числа 260 от среднего:
z = (260 − 250)/√125 ≈ 0,894427.
Обозначим стандартную нормальную плотность через φ(z) = exp(−z²/2)/√(2π).
Локальное приближение
Для отдельного целого значения k локальная формула имеет вид:
P(X = k) ≈ φ((k − np)/√(np(1 − p)))/√(np(1 − p)).
Подставляем параметры нашей задачи:
P(X = 260) ≈ exp(−0,4)/√(250π) ≈ 0,02391868319.
Множитель 1/σ переводит стандартную нормальную плотность обратно к масштабу счётчика X. Забыв его, мы получили бы значение плотности, а не приближение вероятности одной целочисленной точки.
Фактическая точность
Абсолютная ошибка ≈ 0,00000461287.
Относительно точной вероятности ошибка равна примерно 0,01928%. В данном случае локальное приближение слегка занижает ответ и хорошо согласуется с точным расчётом.
Абсолютная ошибка в процентных пунктах составляет примерно 0,0004613. Это не то же самое, что относительная ошибка 0,01928%.
Почему здесь не используется Φ(z)
Функция Φ описывает накопленную вероятность. Для события «ровно 260» можно использовать другой подход — нормальное приближение интервала от 259,5 до 260,5 с поправкой на непрерывность. Но это уже не та локальная формула, которую просит применить условие.
В решении важно сохранять различие между φ — плотностью, Φ — функцией распределения и искомой биномиальной вероятностью.
Связанные материалы
Теория вероятностей и математическая статистика · Математика.
Борис Демешев и участники · probability_pro, задача 10.6 · CC BY 4.0. Условие адаптировано; решение и численная проверка редакции.