Нелинейную функцию нельзя в общем случае переставить с математическим ожиданием. Направление возможного неравенства определяется выпуклостью функции и областью, в которой лежат значения величины.
φ(E[X])≤E[φ(X)] для выпуклой φ; знак меняется для вогнутой
Условие и предпосылки
Сравните E(X²) и [E(X)]²; ln E(X) и E(ln X); E(1/X) и 1/E(X). В исходной задаче решения нет. Далее предпосылки существования выражений записаны явно.
Для первого сравнения достаточно конечного второго момента. Для двух остальных рассматриваем X > 0 почти наверное и 0 < E(X) < ∞; сначала предполагаем также конечность сравниваемых ожиданий.
Квадрат
Дисперсия неотрицательна, поэтому:
E(X²) − [E(X)]² = Var(X) ≥ 0.
Следовательно, E(X²) ≥ [E(X)]². Равенство выполняется тогда и только тогда, когда X постоянна почти наверное. Это также частный случай неравенства Йенсена для выпуклой функции x².
Логарифм
Логарифм строго вогнут на положительной полуоси. Поэтому функция от среднего не меньше среднего функции:
ln E(X) ≥ E(ln X).
Равенство при указанных условиях возможно только для почти наверное постоянной X. Если E(ln X) = −∞, неравенство сохраняет смысл в расширенном виде, но обращаться с обеими сторонами как с конечными числами нельзя.
Обратная величина
Функция 1/x строго выпукла на x > 0, поскольку её вторая производная равна 2/x³ > 0. По Йенсену:
E(1/X) ≥ 1/E(X).
Равенство снова соответствует постоянной величине. Если E(1/X) бесконечно, неравенство верно как расширенное, но не даёт конечной оценки сверху. Без положительности X приведённый аргумент неприменим.
Один пример для трёх сравнений
Пусть X равновероятно равна 1 и 3. Тогда E(X) = 2, E(X²) = 5, и 5 > 4.
Для логарифма E(ln X) = (ln 3)/2 < ln 2. Для обратной величины E(1/X) = (1 + 1/3)/2 = 2/3 > 1/2.
Во всех трёх случаях неравенства строгие, поскольку X не постоянна. Пример показывает и различие направлений: квадрат и обратная величина выпуклы, логарифм вогнут.
Практика записи решения
Перед применением Йенсена сначала проверьте область определения функции и существование ожиданий. Запись ln E(X), например, бессмысленна как вещественное число при неположительном E(X), а X = 0 делает 1/X неопределённой.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 20.4 · CC BY 4.0. Условие адаптировано; предпосылки и решение редакции.