Условие
Независимая выборка 2,3,5 получена из равномерного распределения на [0,θ]. Найдите ММП θ и несмещённую поправку к максимуму.
Решение по шагам
Правдоподобие равно θ⁻³ при θ≥5 и нулю при θ<5. На допустимом диапазоне оно убывает, поэтому максимум достигается в θ̂=5. Здесь максимум определяется границей допустимых параметров, а не нулём производной.
Для M=max(X₁,…,Xₙ) функция распределения (m/θ)ⁿ на [0,θ] даёт E(M)=nθ/(n+1). Поэтому (n+1)M/n несмещённо оценивает θ. При n=3 поправка равна 20/3.
Проверка результата
Интегрирование плотности n mⁿ⁻¹/θⁿ даёт ожидаемый максимум nθ/(n+1). При умножении на (n+1)/n среднее становится θ.
Типичная ошибка
Метод поиска нуля производной логарифма не охватывает максимум на границе. Также нельзя принять среднее выборки за оценку верхней границы без дополнительного преобразования.
Что даёт этот метод
Когда область допустимых наблюдений зависит от параметра, нужно учитывать индикатор поддержки в правдоподобии. Регулярные формулы могут требовать отдельной проверки.
Дальше по теме
Математическая статистика: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.