Условие
Из исходной выборки 0,1 создают бутстрэп-выборку размера 2, выбирая элементы независимо с возвращением. Найдите точное условное распределение её среднего, ожидание и дисперсию.
Решение по шагам
Четыре упорядоченных бутстрэп-выборки 00,01,10,11 равновозможны. Их средние равны 0,1/2,1/2,1. Значит вероятности средних 0,1/2,1 равны 1/4,1/2,1/4.
Условное среднее бутстрэп-среднего равно 1/2. Дисперсия равна (1/4)(−1/2)²+(1/2)·0²+(1/4)(1/2)²=1/8. Это распределение условно на уже наблюдавшемся наборе, а не распределение исходной генеральной совокупности.
Проверка результата
Полный перебор четырёх выборок воспроизводит массы, сумму 1 и дисперсию 1/8. Ошибки Монте-Карло здесь нет, поскольку все варианты перечислены.
Типичная ошибка
Выбор без возвращения всегда дал бы среднее 1/2 и нулевую дисперсию. Для обычного непараметрического бутстрэпа возвращение принципиально.
Что даёт этот метод
Малый пример показывает, что бутстрэп аппроксимирует неизвестное распределение эмпирическим. Точность этой аппроксимации — отдельный вопрос от точности перечисления ресэмплов.
Дальше по теме
Математическая статистика: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.