â_ML=11, если все Xᵢ=0; иначе â_ML=Xᵢ≠0
Условие
Xᵢ принимает 0 с вероятностью (a−1)/10 и a с вероятностью (11−a)/10. Требуются ММП для выборок (0,0) и (0,0,5), общий вид оценки, её дисперсия, регулярность и метод моментов.
Ключ источника
Если встречается Xᵢ≠0, то это значение и есть истинное a; если все наблюдения нули, â_ML=11. Также отмечено нарушение регулярности из-за зависимого от a носителя.
Допустимая область и примеры
Неотрицательность вероятностей даёт 1≤a≤11. Для (0,0) вероятность [(a−1)/10]² возрастает с a, поэтому ответ 11. Для (0,0,5) положительное наблюдение возможно только при a=5.
Распределение оценки
Пусть q=[(a−1)/10]^n — вероятность получить только нули. Тогда â принимает 11 с вероятностью q и a с вероятностью 1−q. Поэтому E(â)=a+(11−a)q, Var(â)=(11−a)²q(1−q).
Внутри 1<a<11 оценка смещена вверх. Обычная регулярная граница Рао — Крамера неприменима напрямую, поскольку значение наблюдаемой точки a меняется вместе с параметром.
Метод моментов
E(X)=a(11−a)/10. Уравнение X̄=a(11−a)/10 имеет два корня, симметричных относительно 11/2, если X̄ ниже максимума функции. Поэтому один первый момент сам по себе не задаёт уникальную оценку a без выбора ветви. Если в данных есть положительное наблюдение, структура поддержки идентифицирует параметр непосредственно.
statistics_pro 5.20 · CC0 1.0 · необычная ММП сохранена; моменты и дисперсия дополнены.