k̂_ML=−n/ΣlnXᵢ−1; k̂_MM=(2X̄−1)/(1−X̄)
Условие
X₁,…,Xₙ независимы с плотностью f(x)=(k+1)x^k на [0,1]. Найдите оценки k максимального правдоподобия и метода моментов и оцените их дисперсии.
Ответ источника
В ключе явно приведена оценка метода моментов: k̂_MM=(2X̄−1)/(1−X̄). Остальные пункты ниже развёрнуты редакцией.
Максимальное правдоподобие
Для k>−1 логарифм правдоподобия равен nlog(k+1)+kΣlogXᵢ. Условие первого порядка даёт k̂_ML=−n/ΣlogXᵢ−1, если наблюдения лежат в (0,1].
Величины −logXᵢ имеют экспоненциальный закон с интенсивностью k+1. Поэтому при большом n Var(k̂_ML)≈(k+1)²/n. Подстановочная оценка — (k̂_ML+1)²/n.
Метод моментов
E(X)=(k+1)/(k+2). Решение уравнения X̄=E(X) даёт формулу ключа. Дисперсия X равна (k+1)/[(k+2)²(k+3)]. Производная обратного преобразования среднего равна (k+2)², поэтому по дельта-методу Var(k̂_MM)≈(k+1)(k+2)²/[(k+3)n].
Сравнение
Отношение асимптотической дисперсии метода моментов к ММП равно (k+2)²/[(k+1)(k+3)]>1. Значит, в этой регулярной внутренней области ММП асимптотически эффективнее. При конечной выборке k̂_ML имеет смещение; асимптотическая формула не является точной конечновыборочной дисперсией.
statistics_pro 5.8 · CC0 1.0 · ключ MM сохранён, остальные выводы редакции.