Условие и модель
В популяции неизвестное число N зайцев. Сначала отловили и пометили 100, затем отпустили. При втором равномерном отлове 100 животных оказалось S=80 помеченных. Требуется оценить N методом моментов и максимального правдоподобия, а затем обобщить на S.
Используется замкнутая популяция: численность не изменилась, метки сохранились, вероятность попадания во второй отлов одинакова для всех животных. Эти предпосылки необходимы для гипергеометрической модели.
Метод моментов
Доля помеченных в популяции равна 100/N. В среднем среди ста повторно пойманных помечены 10000/N. Приравнивая это S, получаем N̂MM=10000/S. При S=80 ответ равен 125.
Правдоподобие без возвращения
Второй отлов не содержит одного животного несколько раз. Поэтому L(N)=C(100,S)C(N−100,100−S)/C(N,100) при целых N≥200−S. Биномиальное распределение не является точной моделью этого отбора.
Для соседних допустимых N отношение равно L(N)/L(N−1)=(N−100)²/[N(N−200+S)]. Оно больше 1, когда NS<10000, и равно 1, когда NS=10000.
Два максимизатора при S=80
Из отношения следует L(124)=L(125); оба значения превышают вероятности в остальных допустимых точках. Поэтому множество оценок максимального правдоподобия — {124,125}.
Источник указывает 125. Это действительно один максимум, но не единственный. Здесь добавлена проверка соседнего целого значения; гипергеометрические вероятности для 124 и 125 совпадают и приблизительно равны 0,218960.
Произвольное S
Для 1≤S≤100 положим q=10000/S. Если q не целое, максимум достигается при floor(q). Если q целое, возможны два соседних максимума q−1 и q, но только когда оба принадлежат допустимой области. При S=100 остаётся единственный N=100.
При S=0 метод моментов не даёт конечной оценки. Правдоподобие возрастает к своему пределу с ростом N, поэтому конечного максимизатора нет. Нулевое пересечение не означает доказанную бесконечную популяцию; оно показывает недостаточность этих данных для конечной оценки данным методом.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 4.2 · CC0 1.0. Модель источника сохранена; множество максимумов уточнено.