Усечённая экспоненциальная плотность на [−θ,θ]: ММП по максимуму модуля

Условие

Независимые Xᵢ имеют плотность exp(−|x|)/[2(1−exp(−θ))] при x∈[−θ,θ]. Найдите ММП для выборки −5,4,2 и в общем случае. Выполнены ли условия регулярности?

Ответ источника

В ключе прямо отмечено: условия регулярности не выполнены, поскольку область значений Xᵢ зависит от θ.

Правдоподобие

Пусть M=maxᵢ|Xᵢ|. При θ<M правдоподобие равно нулю. При θ≥M множитель exp(−Σ|Xᵢ|)/2ⁿ не зависит от θ, а оставшаяся часть равна [1−exp(−θ)]^{-n}.

Функция 1−exp(−θ) возрастает, поэтому её отрицательная степень убывает. Максимум на допустимой области достигается в самой левой точке: θ̂_ML=M=max|Xᵢ|.

Численный ответ

Для −5,4,2 максимальный модуль равен 5, следовательно, θ̂_ML=5.

Почему обычная Fisher-теория здесь опасна

Изменение θ меняет не только форму плотности, но и её носитель. Дифференцирование логарифма плотности при фиксированном x не учитывает граничный индикатор поддержки. Поэтому стандартные регулярные формулы для несмещённости score и асимптотической дисперсии ММП нельзя применять автоматически.

Оценка является порядковой статистикой на границе носителя. Её свойства следует выводить непосредственно из распределения максимального модуля.

statistics_pro 5.16 · CC0 1.0 · замечание о регулярности сохранено; ММП выведена редакцией.