Плотность c·exp(5w − 2w²): как распознать нормальное распределение

Квадратичный показатель экспоненты часто скрывает нормальную плотность. Чтобы найти её параметры, нужно дополнить квадрат и отдельно учесть постоянный множитель, который выйдет из показателя.

Условие

На всей числовой прямой задана плотность f(w) = c exp(5w − 2w²). Найдите E(W), Var(W) и c. В исходной задаче решение не заполнено; далее — редакционный вывод.

Дополнение до квадрата

Преобразуем показатель:

5w − 2w² = −2(w − 5/4)² + 25/8.

Поэтому f(w) = c e^25/8 exp[−2(w − 5/4)²]. Стандартная форма нормальной плотности с параметрами μ и σ² содержит показатель −(w − μ)²/(2σ²).

Сравнивая, получаем μ = 5/4 и 1/(2σ²) = 2, то есть σ² = 1/4. Следовательно, W имеет распределение N(5/4, 1/4).

Среднее и дисперсия

E(W) = 5/4; Var(W) = 1/4.

Стандартное отклонение равно 1/2. Коэффициент 2 перед квадратом не является ни дисперсией, ни обратной дисперсией без дополнительного множителя 2: именно здесь часто возникает ошибка.

Нормировочная константа

При σ = 1/2 коэффициент нормальной плотности равен 1/(σ√(2π)) = √(2/π). Значит:

c e^25/8 = √(2/π);
c = √(2/π)e^−25/8.

Тот же ответ даёт прямое интегрирование: интеграл exp[−2(w − 5/4)²] по всей прямой равен √(π/2), поэтому c e^25/8√(π/2) = 1.

Проверка положения максимума

Производная показателя 5w − 2w² равна 5 − 4w и обращается в ноль при w = 5/4. Это центр симметрии и максимум плотности, согласованный с найденным средним. Постоянный множитель e^25/8 не меняет форму и положение максимума, но обязателен для правильного c.

Математика.

Б. Демешев и участники · probability_pro, 18.2 · CC BY 4.0. Условие адаптировано; решение редакции.