Условие
U равномерна на [0,1], Y=U². Найдите функцию распределения, плотность, E(Y) и Var(Y).
Решение по шагам
Для 0≤y≤1 событие U²≤y равносильно U≤√y, поэтому Fᵧ(y)=√y. Ниже 0 функция равна 0, выше 1 — 1. Дифференцирование внутри интервала даёт плотность fᵧ(y)=1/(2√y).
Моменты проще вычислять через U: E(Y)=E(U²)=∫₀¹u²du=1/3, E(Y²)=E(U⁴)=1/5. Дисперсия 1/5−1/9=4/45. Плотность неограниченна около нуля, но её интеграл конечен.
Проверка результата
Интеграл 1/(2√y) по [0,1] равен 1. Моменты через плотность Y совпадают с интегралами по исходной U.
Типичная ошибка
Квадрат равномерной величины не равномерен. При преобразовании меняется длина прообразов интервалов и потому плотность.
Что даёт этот метод
Метод функции распределения особенно удобен для монотонного преобразования. Для немонотонной функции нужно учитывать несколько прообразов.
Дальше по теме
Теория вероятностей: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.