Условие
Постройте ортонормированный базис плоскости, натянутой на a=(1,1,0) и b=(1,0,1).
Решение по шагам
Первый единичный вектор q₁=a/√2. Из b уберём его проекцию на a: b−(b·a)/(a·a)a=b−a/2=(1/2,−1/2,1). Длина остатка равна √(3/2), поэтому после нормировки получаем q₂=(1,−1,2)/√6.
Убирая проекцию, мы сохраняем порождённую плоскость, но делаем второй вектор перпендикулярным первому. Нормировка меняет только длины.
Проверка результата
q₁·q₂=0; квадраты длин равны 1. Обратное разложение b=(1/√2)q₁+√(3/2)q₂ подтверждает сохранение пространства.
Типичная ошибка
Нормировать оба исходных вектора недостаточно: они всё ещё будут неортогональны. Сначала нужно вычесть проекцию, затем нормировать остаток.
Что даёт этот метод
Если остаток на очередном шаге нулевой, исходный вектор зависим от предыдущих. В вычислениях с округлением устойчивее модифицированный вариант алгоритма.
Дальше по теме
Линейная алгебра: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.