Условие
Множество исходов Ω = {a, b, c}, P({a, b}) = 0,8, P({b, c}) = 0,7. Найдите P({a}), P({b}), P({c}).
Решение источника
P({c}) = 1 − P({a, b}) = 0,2;
P({a}) = 1 − P({b, c}) = 0,3;
P({b}) = P({a, b}) − P({a}) = P({b, c}) − P({c}) = 0,5.
Ответ: P({a}) = 0,3, P({b}) = 0,5, P({c}) = 0,2.
Редакционное объяснение
Ключ — дополнения. В трёхэлементном Ω дополнением к {a, b} служит {c}, а дополнением к {b, c} — {a}. Поэтому P({c}) = 1 − 0,8 = 0,2 и P({a}) = 1 − 0,7 = 0,3. Оставшаяся вероятность приходится на b: P({b}) = 1 − 0,3 − 0,2 = 0,5.
Источник считает P({b}) двумя способами, и оба дают 0,5. Это не случайность, а проверка согласованности данных: 0,8 − 0,3 = 0,5 и 0,7 − 0,2 = 0,5. Ещё одна проверка: вероятности неотрицательны и в сумме дают 1.
Почему двух чисел хватает. Распределение на трёх исходах задаётся тремя числами pa, pb, pc, но одно условие уже есть: pa + pb + pc = 1. Остаются две неизвестные, и два данных уравнения pa + pb = 0,8 и pb + pc = 0,7 их однозначно определяют.
Попутно можно найти вероятность любого события: всего на Ω восемь событий, например P({a, c}) = 0,3 + 0,2 = 0,5.
Что не следует из ответа
Не любые два числа годятся в качестве P({a, b}) и P({b, c}). Например, при P({a, b}) = 0,3 и P({b, c}) = 0,4 получилось бы P({b}) = 0,3 + 0,4 − 1 = −0,3 < 0, то есть таких вероятностей не бывает. Условие согласовано тогда и только тогда, когда сумма двух данных чисел не меньше 1 и каждое из них не больше 1.
На четырёх и более исходах двух подобных чисел уже не хватило бы для однозначного ответа.
Борис Демешев и участники · probability_pro, задача «Вероятности трёх исходов» · Исходное задание и решение · CC BY 4.0. Адаптация: условие и решение источника сохранены, объяснение через дополнения, проверка и обобщение добавлены редакцией.