Условие
100 паровозиков отправляются по порядку с минутным интервалом. Скорости независимы U(0,1); догнав медленный, быстрый продолжает с его скоростью. В пределе найдите шанс пятого быть лидером группы, среднее и дисперсию числа групп, зависимость лидерства третьего и пятого.
Решение по шагам
Паровозик k остаётся лидером тогда и только тогда, когда его исходная скорость меньше всех предыдущих: иначе он в конечном счёте догонит более медленный впереди. Непрерывность исключает равные скорости. Среди первых k каждый равновероятно минимален, поэтому P(лидер k)=1/k; для пятого — 1/5.
Число групп G=ΣIₖ, EG=H₁₀₀≈5.187377518. Индикаторы рекордных минимумов независимы: ранги каждого нового элемента среди уже увиденных независимы и равномерны, а рекорд соответствует рангу 1. В частности P(I₃=1,I₅=1)=1/15. Поэтому Var G=Σₖ₌₁¹⁰⁰(1/k)(1−1/k)≈3.552393617.
Интервал отправления влияет на время догоняния, но не на предельные группы, если скорости положительны и рассматривается достаточно долгий срок.
Проверка результата
Первый всегда лидер и даёт нулевую дисперсию. Среднее около пяти групп меньше 100; прямой перебор порядков пяти скоростей подтверждает совместный шанс 1/15.
Типичная ошибка
Считать лидерами рекордные максимумы: впереди тормозит более медленный, а не более быстрый.
Что даёт этот метод
Для непрерывных iid наблюдений относительные ранги дают распределение рекордов.
Дальше по теме
Теория вероятностей: другие задачи.
Следующие разборы
- Как перевод ученика может повысить средний балл обоих классов
- ВШЭ, ПМИ: контрольная «Альфа» 2024, все шесть задач
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев и участники, probability_dna, L3535. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC BY 4.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.