ВШЭ, вероятность: условное ожидание по событию и обратимому преобразованию

Условие

X~U(0,1), A={X>0,1}, Y=X², F=σ(A). Найдите E(Y|F), E(IA|σ(Y)), E(IA+Y|Y−IA).

Решение по шагам

F различает только A и его дополнение. На A среднее Y равно (1−0,1³)/[3(1−0,1)]=37/100; на Aᶜ — 0,1²/3=1/300. Поэтому E(Y|F)=(37/100)IA+(1/300)IAc.

Поскольку X≥0, X=√Y и IA=I(Y>0,01). Следовательно IA измерим относительно σ(Y), а его условное ожидание равно ему самому.

Обозначим Z=Y−IA. На A значения Z лежат в (−0,99;0), на Aᶜ — в [0;0,01]. По Z почти наверное восстанавливаются и A, и Y: при z<0 Y=z+1, иначе Y=z. Поэтому E(IA+Y|Z)=Z+2I(Z<0). Граничные события нулевой вероятности не меняют условного ожидания.

Проверка результата

Полное ожидание (9/10)(37/100)+(1/10)(1/300)=1/3=EY. Третье выражение является функцией наблюдаемого Z.

Типичная ошибка

Считать, что вычитание индикатора обязательно теряет информацию: здесь две области значений различимы.

Что даёт этот метод

Посмотрите, что можно восстановить из наблюдаемой величины, до интегрирования.

Дальше по теме

Университетские задачи по вероятности.

Следующие разборы

Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, hse_pmi_probability_2024_2025, HA13Q4. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.