Условие
Для A⊆N плотность γ(A)=limₙ|A∩{1,…,n}|/n, если предел существует. Образуют ли все множества с существующей плотностью σ-алгебру?
Решение по шагам
Нет. Каждый одноэлементный набор имеет плотность 0. Если бы семейство было σ-алгеброй, оно содержало бы любой счётный союз таких наборов, то есть все подмножества N. Но некоторые плотности не существуют.
Построим пример: блоки натуральных чисел с длинами, которые намного превосходят сумму предыдущих. Возьмём границы Nₖ=2^(2^k) и включим блоки (N₂ⱼ,N₂ⱼ₊₁], исключив следующие. В конце включённого блока доля выбранных стремится к 1, поскольку Nₖ₋₁/Nₖ→0; в конце исключённого — к 0. Значит общий предел не существует.
Это множество является счётным объединением своих одноэлементных подмножеств, каждое из которых принадлежит семейству. Нарушена замкнутость относительно счётного объединения.
Проверка результата
Дополнение множества с плотностью действительно имеет плотность 1−γ(A), но одной замкнутости по дополнению недостаточно.
Типичная ошибка
Проверить только конечные объединения или решить, что наличие Ω и дополнений уже доказывает σ-алгебру.
Что даёт этот метод
Для опровержения замкнутости предъявите допустимые элементы и недопустимый результат операции.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: среднее косинусов: почти наверное и в среднем квадратичном
- МГУ: полный разбор итогового варианта по вероятности, 2025
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, hse_pmi_probability_2024_2025, HA12Q4. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.