Условие
Поток имеет интенсивность 0,5 в секунду. Найдите шанс ≥2 событий за 5 секунд, второго до 3 секунд, моменты T₃, моменты T₃/T₁₀, P(N₁₀=5|N₄=1) и условные среднее и дисперсию N₁₀.
Решение по шагам
Счёт за 5 секунд Pois(2,5): P(N₅≥2)=1−e⁻²˒⁵(1+2,5). Второе событие до 3 секунд эквивалентно N₃≥2: 1−e⁻¹˒⁵(1+1,5).
T₃~Gamma(shape=3,rate=0,5), ET₃=6 секунд, Var T₃=12 с². Независимые интервалы экспоненциальны; отношение суммы первых трёх к сумме первых десяти имеет Beta(3,7). Его среднее 3/10, дисперсия 3·7/(10²·11)=21/1100.
При N₄=1 прирост N₁₀−N₄ независим и Pois(3). Поэтому P(N₁₀=5|N₄=1)=e⁻³3⁴/4!, условное среднее 4, дисперсия 3.
Проверка результата
Вероятности времени второго события совпадают с соответствующими хвостами счёта. В Gamma указан параметр интенсивности, а не масштаба.
Типичная ошибка
Считать N₁₀ независимым от N₄ или использовать Beta(3,10) вместо Beta(3,7).
Что даёт этот метод
Разделяйте время события, число событий и независимые приращения.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: гамма-класс по характеристической функции и свёртка
- ВШЭ, КНАД: декабрьская контрольная 2024, полный разбор
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, hse_knad_probability_2024_2025, HA7Q2. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.