Условие
Шесть граней нового кубика независимо подписывают результатами честного кубика. Затем бросают один и тот же изготовленный кубик. Найдите P(первый=6|второй=6), зависимость бросков и ожидаемое число шестёрок на гранях после трёх шестёрок в шести бросках.
Решение по шагам
Пусть K — число граней с шестёркой: K~Bin(6,1/6). При фиксированном K индикаторы бросков независимы с параметром K/6, но без условия общий случайный параметр создаёт зависимость.
P(два раза 6)=E(K/6)²=11/216, P(второй=6)=1/6. Поэтому условная вероятность 11/36. Ковариация индикаторов Var(K/6)=5/216>0.
После трёх шестёрок из шести вес гипотезы K=k пропорционален C(6,k)(1/6)ᵏ(5/6)⁶⁻ᵏ(k/6)³(1−k/6)³. Коэффициент выбора позиций успехов общий и сокращается. Нормируем семь весов; условное EK=1011/509≈1.986248. Значения k=0 и 6 имеют нулевой вес.
Проверка результата
Среднее K до наблюдения равно 1, после серии из половины шестёрок увеличивается. Вероятность 11/36 больше исходной 1/6.
Типичная ошибка
Считать новый кубик честным только потому, что каждая отдельная грань подписана честно.
Что даёт этот метод
Смесь независимых испытаний обычно создаёт зависимость после исключения скрытого параметра.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: рандомизированные ответы анкеты
- МГУ: полный разбор итогового варианта по вероятности, 2025
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, hse_pmi_probability_2024_2025, HA3Q2. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.