Условие
Истинное «да» имеет долю p. Монета с вероятностью 0,6 кодирует да→A, нет→Б, иначе наоборот. Найдите вероятность истинного «да» после A и после A,Б,A с тремя независимыми монетами у того же человека.
Решение по шагам
По Байесу P(да|A)=0,6p/[0,6p+0,4(1−p)]. Здесь p — априорная доля, а код зависит от скрытого истинного ответа.
Для A,Б,A вероятность последовательности при истинном «да» равна 0,6²·0,4; при «нет» — 0,4²·0,6. Общий множитель 0,6·0,4 сокращается, и получается та же формула. Два A и одно Б дают ровно один лишний A, поэтому отношение правдоподобий равно 0,6/0,4, как для одного A.
Монеты независимы при фиксированном истинном ответе. Сами закодированные ответы без этого условия зависимы: они сообщают об одном человеке.
Проверка результата
При p=1/2 обе вероятности равны 0,6; при p=0 или 1 формула сохраняет крайние значения.
Типичная ошибка
Назвать закодированные ответы безусловно независимыми или подставить p=1/2 без основания.
Что даёт этот метод
Сравнивайте правдоподобия наблюдения при каждой скрытой гипотезе.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: максимумы двух блоков: условные шансы и положение одной точки
- МГУ: полный разбор итогового варианта по вероятности, 2025
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, hse_pmi_probability_2024_2025, HA3Q1. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.