Петербургская лотерея: бесконечное среднее и потолок выплаты

Условие

Монету бросают до первого орла. Если он появился на броске N, выплата 2ᴺ; P(N=n)=2⁻ⁿ. Найдите среднюю выплату и результат при потолке 2ᵐ, m≥1.

Решение по шагам

Для исходной выплаты E2ᴺ = Σₙ₌₁∞2ⁿ2⁻ⁿ = Σₙ₌₁∞1 = ∞. Редкие очень большие выплаты в точности компенсируют их малую вероятность. Это математический факт о распределении, а не определение обязательной цены участия.

При ограничении Y=min(2ᴺ,2ᵐ) первые m значений дают по единице: Σₙ₌₁ᵐ2ⁿ2⁻ⁿ=m. Хвост N>m имеет вероятность 2⁻ᵐ и выплачивает 2ᵐ, поэтому добавляет 1. Получаем EY=m+1.

Для m=1 выплата всегда 2, среднее 2. Для m=10 максимальная выплата 1024, но средняя только 11. Готовность платить зависит от модели полезности и ограничений ресурсов; одним бесконечным денежным средним её определить нельзя.

Проверка результата

Нельзя дважды учитывать случай N=m: он уже входит в первые m членов. Хвост начинается строго с N>m.

Типичная ошибка

Считать бесконечное среднее гарантией большой выплаты в одной игре или складывать средние, содержащие неопределённую разность бесконечностей.

Что даёт этот метод

Разделяйте распределение, математическое ожидание и критерий принятия решения.

Дальше по теме

Теория вероятностей: другие задачи.

Следующие разборы

Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев и участники, probability_dna, L1895. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC BY 4.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.