Условие
Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 3,4,12. Найдите пространственную диагональ, объём и площадь полной поверхности.
Решение по шагам
Диагональ основания равна√(3²+4²)=5. Пространственная диагональ образует с ней и высотой 12 прямоугольный треугольник, поэтому d=√(5²+12²)=13.
Объём равен произведению трёх измерений: V=3·4·12=144. Полная поверхность содержит две грани каждого типа, значит S=2(3·4+3·12+4·12)=192.
Проверка результата
d²=3²+4²+12²=169. Три пары площадей граней дают 24+72+96=192. Объём выражается в кубических единицах, площадь — в квадратных.
Типичная ошибка
Пространственная диагональ не является диагональю одной грани. Сложение длин рёбер также не даёт её длину.
Что даёт этот метод
Переход через диагональ основания сводит трёхмерную задачу к двум последовательным применениям Пифагора.
Дальше по теме
Школьная геометрия: задачи и доказательства.
Следующие разборы
- Конус радиуса 3 и высоты 4: образующая, объём и полная поверхность
- Правильная пирамида: высота 4, основание 6 и апофема 5
Авторское учебное условие по теме источника: А. П. Киселёв, «Геометрия», редакция Антона Петрунина, parallelepiped-3-4-12. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.