Условие
Радиус окружности равен 13. Хорда находится на расстоянии 5 от её центра. Найдите длину хорды.
Решение по шагам
Пусть O — центр, M — основание перпендикуляра к хорде AB. Треугольники OMA и OMB прямоугольные, имеют общую сторону OM и равные гипотенузы OA=OB. Поэтому AM=MB.
В одном из этих треугольников AM=√(OA²−OM²)=√(169−25)=12. Значит AB=24. Данный способ одновременно доказывает деление хорды пополам и вычисляет её половину.
Проверка результата
5²+12²=13², а длина хорды 24 меньше диаметра 26. При расстоянии от центра 0 эта же формула дала бы диаметр, что служит граничной проверкой.
Типичная ошибка
Расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру. Подстановка произвольного отрезка от центра к хорде не даёт прямоугольного треугольника.
Что даёт этот метод
Формула l=2√(R²−d²) показывает, что при фиксированном радиусе хорда короче, когда удаляется от центра.
Дальше по теме
Школьная геометрия: задачи и доказательства.
Следующие разборы
- Серединный перпендикуляр: почему равенство расстояний задаёт прямую
- Вписанная окружность: радиус через площадь и полупериметр
Авторское учебное условие по теме источника: А. П. Киселёв, «Геометрия», редакция Антона Петрунина, horda-rasstoyanie-ot-centra. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.