Условие
Из внешней точки P проведены касательная PT и секущая PAB; A — ближняя точка пересечения, B — дальняя. PA=4, PB=25. Найдите PT.
Решение по шагам
По теореме о касательной и секущей PT²=PA·PB. Это следует из подобия треугольников PTA и PBT: угол P общий, а угол между касательной и хордой равен соответствующему вписанному углу.
Получаем PT²=4·25=100, следовательно PT=10. Внутренняя часть секущей AB=25−4=21; она не заменяет полную длину PB в теореме.
Проверка результата
Квадрат найденной касательной 100 равен произведению 4·25. Использование только внутренней части дало бы 84 и нарушило бы исходную пропорцию подобия.
Типичная ошибка
Не перепутайте PA и AB. Произведение состоит из расстояния до ближнего пересечения и расстояния до дальнего, оба измеряются от одной внешней точки.
Что даёт этот метод
Для нескольких секущих из P произведение внешней части на полную длину одинаково. Это позволяет находить недостающие размеры без построения центра окружности.
Дальше по теме
Школьная геометрия: задачи и доказательства.
Следующие разборы
- Средняя линия треугольника: длина, параллельность и отношение площадей
- Сектор 60° радиуса 6: длина дуги и площадь
Авторское учебное условие по теме источника: А. П. Киселёв, «Геометрия», редакция Антона Петрунина, kasatelnaya-sekuschaya. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.