Условие
В треугольнике ABC стороны AB и AC равны, угол A равен 40°. Найдите углы B и C и обоснуйте, почему они равны.
Решение по шагам
Проведём биссектрису AD к основанию BC. В треугольниках ABD и ACD равны AB и AC, общая сторона AD и заключённые между ними углы. По признаку равенства треугольники равны, поэтому ∠B=∠C.
Сумма углов исходного треугольника равна 180°, значит B+C=140°. Два равных угла дают B=C=70°. Биссектриса при этом оказывается также медианой и высотой: BD=DC, а смежные равные углы при D равны 90°.
Проверка результата
40°+70°+70°=180°. Проверка использует и исходное равенство боковых сторон, и сумму углов; без первого условия пара 60°,80° тоже удовлетворяла бы сумме.
Типичная ошибка
Из одной суммы углов нельзя заключить, что оставшиеся два угла равны. Равенство обеспечивается геометрическим условием AB=AC.
Что даёт этот метод
Вспомогательный отрезок превращает симметрию фигуры в применение строгого признака равенства. Тот же ход доказывает сразу несколько свойств равнобедренного треугольника.
Дальше по теме
Школьная геометрия: задачи и доказательства.
Следующие разборы
- Биссектриса треугольника: деление стороны в отношении 2:3
- Вписанная окружность: радиус через площадь и полупериметр
Авторское учебное условие по теме источника: А. П. Киселёв, «Геометрия», редакция Антона Петрунина, ravnobedrennyy-ugol-40. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.