Условие
С вероятностью 1/2 выбирают группу A и с вероятностью 1/2 — B. В A величина X имеет среднее 2 и дисперсию 1, в B — среднее 6 и дисперсию 9. Найдите среднее и дисперсию смеси.
Решение по шагам
Среднее смеси равно (2+6)/2=4. Средняя условная дисперсия равна (1+9)/2=5. Условные средние отличаются от общего на −2 и +2, поэтому дисперсия условного среднего равна (4+4)/2=4.
Полная дисперсия равна 5+4=9. Общий разброс складывается из разброса наблюдений внутри выбранной группы и различий между средними групп.
Проверка результата
По второму моменту: E(X²|A)=1+2²=5, E(X²|B)=9+6²=45. Средний второй момент 25, минус квадрат общего среднего 16 даёт 9.
Типичная ошибка
Просто усреднить дисперсии и получить 5 неверно: это потеря межгруппового разброса. Он исчезает только при одинаковых условных средних.
Что даёт этот метод
Формула Var(X)=E[Var(X|G)]+Var[E(X|G)] полезна для смесей, многоуровневых моделей и анализа неоднородных выборок.
Дальше по теме
Теория вероятностей: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.