Условие
Для A с рядами (2,1), (0,2) найдите размерность собственного пространства и формулу Aⁿ при n≥1.
Решение по шагам
Единственное собственное число — 2 с алгебраической кратностью 2. Уравнение (A−2I)v=0 требует y=0, поэтому собственное пространство одномерно. Два независимых собственных вектора получить нельзя; матрица не диагонализируется.
Запишем A=2I+N, где N имеет ряды (0,1), (0,0) и N²=0. Биномиальная формула сокращается: Aⁿ=2ⁿI+n2ⁿ⁻¹N. Ряды равны (2ⁿ,n2ⁿ⁻¹), (0,2ⁿ).
Проверка результата
При n=4 прямое умножение даёт (16,32), (0,16). Нулевой квадрат N объясняет отсутствие членов более высоких порядков.
Типичная ошибка
Кратность корня характеристического многочлена не равна автоматически числу независимых собственных векторов.
Что даёт этот метод
Нильпотентная часть жордановой клетки добавляет полиномиальный множитель n к экспоненциальному росту. Это важно для рекурсий и линейных динамических систем.
Дальше по теме
Линейная алгебра: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.