Минимум двух U[0,a]: несмещённый множитель 3 и MSE-оптимум 2

Научная визуализация Минимум двух U[0,a]: несмещённый множитель 3 и MSE-оптимум 2

Минимум двух U[0,a]: несмещённый множитель 3 и MSE-оптимум 2. β=2 минимизирует среднеквадратичную ошибку; β=3 обеспечивает несмещённость.

Z=min(X₁,X₂); E[Z]=a/3; β_unb=3; β_MSE=2

β=2 минимизирует среднеквадратичную ошибку; β=3 обеспечивает несмещённость.

Условие

X₁,X₂ независимы U[0,a], Z=min(X₁,X₂). Найдите распределение Z, его моменты и коэффициент β в оценке â=βZ для несмещённости и минимального MSE.

Распределение

P(Z>z)=(1−z/a)² для 0≤z≤a. Поэтому F_Z(z)=1−(1−z/a)², f_Z(z)=2(a−z)/a², E(Z)=a/3, Var(Z)=a²/18, E(Z²)=a²/6.

Несмещённость

E(βZ)=βa/3, поэтому β=3 — ответ источника.

Минимальный MSE

MSE=a²[β²/6−2β/3+1]. Минимум достигается при β=2. В ключе напечатано 1/2; подстановка показывает, что это не стационарная точка. Значение 2 — явное исправление.

Несмещённая 3Z имеет MSE=a²/2, а 2Z — a²/3: небольшое смещение уменьшает общую ошибку.

statistics_pro 7.8 · CC0 1.0 · β=3 сохранено; MSE-ответ исправлен.