Условие
100 независимых U(0,1). L — максимум первых 80, R — последних 20, M — общий максимум. Найдите P(L>R|L), P(L>R|R), P(L>R|M), E(X₁|L), E(X₁|min всех 100).
Решение по шагам
Независимость блоков даёт P(L>R|L=l)=l²⁰ и P(L>R|R=r)=1−r⁸⁰. При условии M=m индекс единственного максимума равномерен среди 100 и не зависит от значения m. Поэтому P(L>R|M)=80/100=4/5.
При L=l первый элемент является максимумом с вероятностью 1/80, иначе равномерен на (0,l). Значит E(X₁|L=l)=l/80+(79/80)(l/2)=81l/160.
Если минимум всех ста равен m, первый элемент имеет вероятность 1/100 быть минимальным; иначе он равномерен на (m,1). Поэтому E(X₁|min=m)=m/100+(99/100)(m+1)/2=(101m+99)/200.
Проверка результата
EL=80/81: усреднение 81L/160 даёт 1/2. Средний минимум 1/101: усреднение последней формулы также 1/2.
Типичная ошибка
Заменить условное распределение первого элемента просто равномерным: потеряется атом в точке наблюдаемого экстремума.
Что даёт этот метод
При заданном экстремуме отдельно учитывайте его индекс и остальные наблюдения.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: характеристическая функция суммы произведений с общим Y
- МГУ: полный разбор итогового варианта по вероятности, 2025
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, hse_pmi_probability_2024_2025, HA13Q6. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.