Условие
У треугольника стороны 10,17,21. Найдите радиус описанной окружности и поясните использование формулы R=abc/(4S).
Решение по шагам
Полупериметр s=24, площадь по Герону S=√(24·14·7·3)=84. Тогда R=10·17·21/(4·84)=85/8.
Формула получается из S=bc·sin A/2 и a=2R·sin A: исключение синуса даёт S=abc/(4R). Геометрический смысл второго равенства — связь хорды a с вписанным углом, который на неё опирается. Это не предположение о прямом угле.
Проверка результата
Высота к стороне 10 равна 2S/10=84/5. Равенство b·c=2R·h даёт 17·21=2·(85/8)·(84/5)=357. Радиус больше половины наибольшей стороны 21/2, что необходимо для такой хорды.
Типичная ошибка
В знаменателе стоит 4S, а не 2S. Формулу R=c/2 можно применять к гипотенузе прямоугольного треугольника; здесь наибольший угол тупой.
Что даёт этот метод
Связь стороны, высоты и диаметра позволяет проверять вычисленный радиус через другую форму того же геометрического соотношения.
Дальше по теме
Школьная геометрия: задачи и доказательства.
Следующие разборы
- Вписанная окружность: радиус через площадь и полупериметр
- Треугольник 13–14–15: площадь по Герону и высота 12
Авторское учебное условие по теме источника: А. П. Киселёв, «Геометрия», редакция Антона Петрунина, opisannaya-okruzhnost-10-17-21. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.