Условие
Наблюдения 1,2,3,6 считаются независимой выборкой из экспоненциального распределения с неизвестной интенсивностью λ. Найдите оценку методом моментов.
Решение по шагам
Теоретическое среднее экспоненциального распределения равно 1/λ. Выборочное среднее равно (1+2+3+6)/4=3. Приравниваем моменты: 1/λ̂=3, откуда λ̂=1/3.
Интенсивность измеряется в обратных единицах времени, если наблюдения — времена. Большая средняя длительность соответствует меньшей интенсивности, что согласуется с обратной зависимостью.
Проверка результата
Оценка ММП для той же модели также равна n/Σxᵢ=4/12=1/3. Это отдельный вывод из логарифма правдоподобия nlnλ−λΣxᵢ.
Типичная ошибка
Среднее 3 оценивает среднее время, а не интенсивность. Совпадение метода моментов и ММП в этой модели не означает, что методы всегда совпадают или дают несмещённые оценки.
Что даёт этот метод
Метод моментов выбирает столько теоретических моментов, сколько неизвестных параметров. Нужны существование моментов и возможность решить полученную систему.
Дальше по теме
Математическая статистика: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.