Научная визуализация
Состоятельная оценка θ по среднему при E(X)=θ/(θ+1)
Состоятельная оценка θ по среднему при E(X)=θ/(θ+1). Непрерывное обратное отображение переносит X̄→θ/(θ+1) в θ̂→θ.
θ̂=X̄/(1−X̄) →ₚ θ
Условие
Xᵢ iid, Var(Xᵢ)=16, E(Xᵢ)=θ/(θ+1), θ>0. Постройте с помощью X̄ состоятельную оценку θ.
Ответ источника
θ̂=X̄/(1−X̄).
Доказательство
Конечная дисперсия обеспечивает X̄→p μ=θ/(θ+1). Значение μ лежит в (0,1), а g(m)=m/(1−m) непрерывна в его окрестности. Поэтому g(X̄)→p g(μ)=θ.
Конечная выборка
Условие задаёт только среднее и дисперсию, а не носитель. Поэтому отдельное X̄ теоретически может попасть вне (0,1) или в точку знаменателя; это не противоречит состоятельности, если вероятность таких событий исчезает.
По дельта-методу Var(θ̂)≈16(θ+1)^4/n при стандартных условиях ЦПТ — редакционное дополнение.
statistics_pro 7.14 · CC0 1.0 · оценка сохранена; доказательство добавлено.