Модель задания
Времена обслуживания независимы и экспоненциальны с интенсивностью λ>0. Найдите ММП λ и среднего времени m=1/λ.
Правдоподобие
L(λ)=λⁿexp(−λΣXᵢ). Поэтому ℓ′(λ)=n/λ−ΣXᵢ, и
λ̂_ML=n/ΣXᵢ=1/X̄.
Среднее время
По инвариантности ММП m̂_ML=1/λ̂=X̄. В отличие от интенсивности, выборочное среднее несмещённо: E(X̄)=1/λ.
Конечновыборочное смещение интенсивности
ΣXᵢ∼Gamma(shape=n, rate=λ). При n>1
E(λ̂)=nλ/(n−1),
то есть ММП интенсивности смещена вверх. Несмещённая версия — (n−1)/ΣXᵢ.
Асимптотика
Информация Фишера равна n/λ², поэтому se(λ̂)≈λ̂/√n. Для среднего времени дельта-метод даёт se(X̄)≈X̄/√n.
HSE KNAD Statistics 2024–2025 · ha-01 · закреплённая редакция · CC0 1.0. Решение редакции.