Модель
Xᵢ iid Exp(λ), λ>0. Проверяется H0:λ=λ₀. ММП λ̂=1/X̄.
Likelihood ratio
LR=2[ℓ(λ̂)−ℓ(λ₀)]
=2n[ln(λ̂/λ₀)−1+λ₀/λ̂].
Score / LM
Score S(λ)=n/λ−ΣXᵢ. Информация I(λ)=n/λ². Поэтому
LM=S(λ₀)²/I(λ₀)=n[1−λ₀X̄]²=n[1−λ₀/λ̂]².
Wald
Используя I(λ̂),
W=n(λ̂−λ₀)²/λ̂²=n[1−λ₀/λ̂]².
В этой параметризации LM и W имеют одинаковую алгебраическую форму, хотя это не универсальное свойство.
Калибровка
При H0 и больших n все три статистики асимптотически χ²₁. В конечной выборке они могут различаться, особенно LR против двух квадратичных вариантов.
HSE KNAD Statistics 2024–2025 · ha-05 · закреплённая редакция · CC0 1.0. Решение редакции.