Модель
Xᵢ iid N(μ,σ²), σ² известна. Проверяется H0:μ=μ₀.
ММП и информация
μ̂=X̄, информация I(μ)=n/σ².
Три статистики
Логарифм правдоподобия квадратичен по μ. Разность максимумов:
LR=n(X̄−μ₀)²/σ².
Score S(μ₀)=n(X̄−μ₀)/σ², поэтому
LM=S²/I=n(X̄−μ₀)²/σ².
Wald использует Var(μ̂)=σ²/n:
W=(X̄−μ₀)²/(σ²/n)=n(X̄−μ₀)²/σ².
Точное распределение
Под H0 √n(X̄−μ₀)/σ∼N(0,1), поэтому общая статистика имеет точный χ²₁, а не только асимптотический закон.
Если σ неизвестна и оценивается, простое точное совпадение трёх статистик в этой форме исчезает.
HSE KNAD Statistics 2024–2025 · ha-05 · закреплённый источник · CC0 1.0. Решение редакции.