Условие
U₁,U₂,U₃ независимы и равномерны на [0,1]. Найдите распределение M=max(U₁,U₂,U₃) и E(M).
Решение по шагам
При 0≤m≤1 событие M≤m означает одновременно U₁≤m, U₂≤m, U₃≤m. Независимость даёт Fₘ(m)=m³. Плотность равна 3m² внутри [0,1].
Среднее по плотности: ∫₀¹m·3m²dm=3/4. Через хвостовую формулу получается ∫₀¹(1−m³)dm=3/4. Для сравнения, среднее каждой исходной величины равно 1/2.
Проверка результата
Оба интегральных способа дают 3/4. Например, P(M≤1/2)=1/8, что также получается произведением трёх вероятностей 1/2.
Типичная ошибка
Среднее максимума не равно максимуму средних. Операция max нелинейна, поэтому переставлять её с ожиданием нельзя.
Что даёт этот метод
Для максимума n независимых равномерных на [0,1] F(m)=mⁿ и E(M)=n/(n+1). Независимость нужна для произведения функций распределения.
Дальше по теме
Теория вероятностей: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.