Условие
Совместная плотность X,Y равна 2 при x≥0, y≥0, x+y≤1 и нулю вне этого треугольника. Найдите E(X), E(Y), Cov(X,Y) и P(X+Y≤1/2).
Решение по шагам
Треугольник имеет площадь 1/2, поэтому плотность нормирована. Маргинальная плотность X равна 2(1−x) при 0≤x≤1; интеграл x·2(1−x) даёт E(X)=1/3. По симметрии E(Y)=1/3.
Двойной интеграл xy·2 даёт E(XY)=1/12. Ковариация равна 1/12−1/9=−1/36. Меньший треугольник x+y≤1/2 имеет площадь 1/8, поэтому его вероятность 2·1/8=1/4.
Проверка результата
Прямые двойные интегралы подтверждают нормировку, оба средних и смешанный момент. Геометрический подсчёт площади независимо проверяет вероятность.
Типичная ошибка
Постоянная совместная плотность не означает независимости: область допустимых пар не является прямоугольником. Большой X ограничивает возможный Y.
Что даёт этот метод
Маргинальные плотности получают интегрированием по допустимому диапазону другой переменной. Границы интеграла несут зависимость не меньше самой формулы плотности.
Дальше по теме
Теория вероятностей: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.