Условие
Функция равна x² при x≤1 и 2x−1 при x>1. Проверьте непрерывность, существование первой и второй производных при x=1.
Решение по шагам
Обе формулы стремятся к 1, а значение f(1)=1. Значит функция непрерывна. Слева производная 2x стремится к 2, справа производная постоянно равна 2. Односторонние производные в точке тоже равны 2, поэтому f′(1)=2.
Вторая производная слева равна 2, справа 0. Производная f′ имеет разные односторонние наклоны в точке 1, следовательно f″(1) не существует.
Проверка результата
Для h≤0 разностное отношение (f(1+h)−1)/h равно 2+h, для h>0 равно 2. Оба стремятся к 2. Разностные отношения для f′ дают 2 и 0.
Типичная ошибка
Совпадение значений обеспечивает непрерывность, но не производную. Совпадение первых производных также не гарантирует существование второй.
Что даёт этот метод
При склейке нужно сравнивать односторонние значения и производные отдельно на каждом требуемом уровне гладкости.
Дальше по теме
Математический анализ: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.