Условие
Докажите, что Q(x,y)=2x²−2xy+2y² положительна для любого ненулевого (x,y).
Решение по шагам
Выделим квадраты: Q=x²+y²+(x−y)². Все слагаемые неотрицательны; при ненулевом векторе хотя бы одно из первых двух положительно. Значит Q>0.
Матрица формы имеет ряды (2,−1), (−1,2). Главные угловые миноры равны 2 и 3, оба положительны. Собственные числа равны 1 и 3, что даёт ещё один критерий положительной определённости.
Проверка результата
Раскрытие квадратов возвращает исходную форму. На направлениях (1,1) и (1,−1) отношение Q к квадрату длины равно соответственно 1 и 3.
Типичная ошибка
Наличие отрицательного смешанного члена не делает форму отрицательной. Определяющую роль играет вся форма, а не знак одного коэффициента.
Что даёт этот метод
Для действительной симметричной матрицы положительная определённость эквивалентна положительности всех собственных чисел и главных угловых миноров.
Дальше по теме
Линейная алгебра: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.