Условие
Для A с рядами (4,1), (0,2) найдите Aⁿ при целом n≥0.
Решение по шагам
Собственные числа 4 и 2 различны. Вектор (1,0) соответствует 4, а (1,−2) — 2. Матрица P со столбцами этих векторов обратима, и A=P diag(4,2) P⁻¹. Поэтому Aⁿ=P diag(4ⁿ,2ⁿ) P⁻¹.
После умножения ряды результата равны (4ⁿ,(4ⁿ−2ⁿ)/2) и (0,2ⁿ). Для n=0 это единичная матрица: внедиагональный элемент обнуляется.
Проверка результата
При n=1 формула возвращает A. Прямое пятикратное умножение даёт ряды (1024,496), (0,32), совпадающие с формулой.
Типичная ошибка
Возведение каждого элемента матрицы в n-ю степень не вычисляет Aⁿ. Внедиагональный элемент накапливается при умножениях.
Что даёт этот метод
Диагонализация переводит повторные матричные умножения в степени собственных чисел. Она требует полного базиса собственных векторов.
Дальше по теме
Линейная алгебра: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.